Calcule as seguintes integrais:
, em que
está limitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde a região
está limitada pelas superfícies
,
,
e
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, organizando bem os limites de integração e integrando passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. As superfícies
e
nos dizem que
varia entre
e
. Já
varia de 0 a 2. Para encontrar os limites de
, igualamos as duas expressões de
:
Então,
varia de -1 a 1.
Passo 3
Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral de
em relação a
é simplesmente
. Aplicando os limites:
Passo 5
Substituímos de volta na integral dupla:
Vamos factorizar o 2:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Expandimos o integrando:
Portanto, a integral é:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 9
Calculamos nos limites
e
:
Para
:
Para
:
A diferença é:
Multiplicando pelo 4:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Um objeto com massa
se move com função posição
. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.
Utilize a transformação dada para calcular a integral:
; onde
é a região limitada pelas curvas
;
Esboce o gráfico das seguintes funções: