Calcule as seguintes integrais: integral triplaE(x-y) d V, em que E está limitado pelas superfícies z=x^2-1, z=1-x^2, y=0 e y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral triplaE(x - y) , dV, onde a região E está limitada pelas superfícies z = x^2 - 1, z = 1 - x^2, y = 0 e y = 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, organizando bem os limites de integração e integrando passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. As superfícies z = x^2 - 1 e z = 1 - x^2 nos dizem que z varia entre x^2 - 1 e 1 - x^2. Já y varia de 0 a 2. Para encontrar os limites de x, igualamos as duas expressões de z:
x^2 - 1 = 1 - x^2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = pm1
Então, x varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
integral triplaE(x - y) , dV = integral-1^1 integral0^2 integralx^2 - 1^1 - x^2 (x - y) , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de (x - y) em relação a z é simplesmente (x - y) cdot z. Aplicando os limites:
integralx^2 - 1^1 - x^2 (x - y) , dz = (x - y)[(1 - x^2) - (x^2 - 1)] = (x - y)(2 - 2x^2) = 2(x - y)(1 - x^2)

Passo 5

Substituímos de volta na integral dupla:
integral-1^1 integral0^2 2(x - y)(1 - x^2) , dy , dx
Vamos factorizar o 2:
2 integral-1^1 (1 - x^2) integral0^2 (x - y) , dy , dx

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integral0^2 (x - y) , dy = [xy - 12y^2]0^2 = 2x - 2
Então, a integral fica:
2 integral-1^1 (1 - x^2)(2x - 2) , dx = 4 integral-1^1 (1 - x^2)(x - 1) , dx

Passo 7

Expandimos o integrando:
(1 - x^2)(x - 1) = x - x^3 -1 + x^2 = -x^3 + x^2 + x - 1
Portanto, a integral é:
4 integral-1^1 (-x^3 + x^2 + x - 1) , dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^3) , dx = -x^44 integral x^2 , dx = x^33 integral x , dx = x^22 integral (-1) , dx = -x
Então:
4 [ -x^44 + x^33 + x^22 - x ]-1^1

Passo 9

Calculamos nos limites x = 1 e x = -1:
Para x = 1:
-14 + 13 + 12 - 1 = -512
Para x = -1:
-14 - 13 + 12 + 1 = 1112
A diferença é:
-512 - 1112 = -1612 = -43
Multiplicando pelo 4:
4 times (-43) = -163

Resposta

O valor da integral tripla é -dfrac163.

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