Calcule as seguintes integrais: , em que está limitado pelas superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a região está limitada pelas superfícies , , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, organizando bem os limites de integração e integrando passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. As superfícies e nos dizem que varia entre e . Já varia de 0 a 2. Para encontrar os limites de , igualamos as duas expressões de :
Então, varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, montamos a integral tripla com esses limites:

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral de em relação a é simplesmente . Aplicando os limites:

Passo 5

Substituímos de volta na integral dupla:
Vamos factorizar o 2:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Expandimos o integrando:
Portanto, a integral é:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 9

Calculamos nos limites e :
Para :
Para :
A diferença é:
Multiplicando pelo 4:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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; onde é a região limitada pelas curvas ;
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