Utilize a transformação dada para calcular a integral:
; onde é a região limitada pelas curvas ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a região é limitada pelas curvas , , e . A matéria que vamos usar aqui é transformação de variáveis em integrais múltiplas. Precisamos transformar a região usando as novas variáveis e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que estamos usando. Temos e . Essas novas variáveis vão facilitar nossa integração, mudando as curvas que definem para retas no plano .
Passo 3
Precisamos encontrar a expressão para em termos de e . Como e , podemos dividir as duas equações para eliminar :
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por:
Precisamos expressar e em termos de e . Temos:
Dividindo por :
Substituindo em :
Então,
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Então, o valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração no plano . As curvas que limitam são:
Então, varia de 2 a 4 e varia de 1 a 3.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em termos de e :