Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pelas curvas ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a região é limitada pelas curvas , , e . A matéria que vamos usar aqui é transformação de variáveis em integrais múltiplas. Precisamos transformar a região usando as novas variáveis e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que estamos usando. Temos e . Essas novas variáveis vão facilitar nossa integração, mudando as curvas que definem para retas no plano .
Passo 3
Precisamos encontrar a expressão para em termos de e . Como e , podemos dividir as duas equações para eliminar :
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por:
Precisamos expressar vu = y implies y = vu e u = x cdot vu implies x = u^2v em termos de x = u^2v e y = vu e partial xpartial u = 2u v - u^2 cdot 0v^2 = 2uv partial xpartial v = 0 - u^2v^2 = -u^2v^2 . Temos:
partial ypartial u = -vu^2 partial ypartial v = 1u
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração no plano xy = 2 implies u = 2 xy = 4 implies u = 4 xy^2 = 1 implies v = 1 xy^2 = 3 implies v = 3 . As curvas que limitam são:
Então, varia de 2 a 4 e varia de 1 a 3.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaR y^2 , dA = integralu=2^4 integralv=1^3 v^2u^2 cdot 1v , dv , du = integral2^4 integral1^3 vu^2 , dv , du e :
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a integral1^3 vu^2 , dv = 1u^2 [ v^22 ]1^3 = 1u^2 ( 92 - 12 ) = 4u^2 :
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a integral2^4 4u^2 , du = 4 integral2^4 u^-2 , du = 4 [ -1u ]2^4 = 4 ( -14 + 12 ) = 4 ( 14 ) = 1 :