Utilize a transformação dada para calcular a integral: ; onde é a região limitada pelas curvas ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a região é limitada pelas curvas , , e . A matéria que vamos usar aqui é transformação de variáveis em integrais múltiplas. Precisamos transformar a região usando as novas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que estamos usando. Temos e . Essas novas variáveis vão facilitar nossa integração, mudando as curvas que definem para retas no plano .

Passo 3

Precisamos encontrar a expressão para em termos de e . Como e , podemos dividir as duas equações para eliminar : Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por: Precisamos expressar e em termos de e . Temos: Dividindo por : Substituindo em : Então, Agora, vamos calcular as derivadas parciais: Então, Então, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração no plano . As curvas que limitam são: Então, varia de 2 a 4 e varia de 1 a 3.

Passo 6

Vamos reescrever a integral original em termos de e :

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral vale **1**.

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