Calcule as seguintes integrais: integral 5 x^23-7 e^x d x

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui para calcular a integral de uma função que é a soma de duas partes: 5x^23 e -7e^x. Vamos usar o conceito de integração, que é como “desfazer” uma derivada, para encontrar a função original que, ao derivar, dá essa expressão. Precisaremos saber como integrar potências de x e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral (5x^23 - 7e^x) dx = integral 5x^23 dx - integral 7e^x dx
Isso é legal porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral 5x^23 dx. A regra que usamos aqui é a regra da potência, que diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Onde n neq -1. No nosso caso, n = 23.

Passo 4

Aplicando a regra da potência:
integral 5x^23 dx = 5 cdot x^23 + 123 + 1 = 5 cdot x^5353 = 5 cdot 35 x^53 = 3x^53

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: integral -7e^x dx. A integral de e^x é bem direta, já que a derivada de e^x é ela mesma. Então:
integral e^x dx = e^x + C
Multiplicando pelo coeficiente -7:
integral -7e^x dx = -7e^x

Resposta

Juntando as duas partes que calculamos, a integral completa fica:
integral (5x^23 - 7e^x) dx = 3x^53 - 7e^x + C
Onde C é a constante de integração.

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