Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(e) lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da função . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções com limites conhecidos.

Passo 2

Vamos analisar a função -1 <= sin(pix) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a função exponencial em todos os lados da desigualdade. A função e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1 é crescente, o que significa que se , então . Portanto:

Passo 4

Multiplicamos toda a desigualdade por raizx cdot e^-1 <= raizx cdot e^sin(pix) <= raizx cdot e^1 , que é sempre positivo quando se aproxima de 0 pela direita:

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites dos dois lados quando limx to 0^+ raizx cdot e^-1 = e^-1 cdot limx to 0^+ raizx = e^-1 cdot 0 = 0 tende a 0:
limx to 0^+ raizx cdot e^1 = e^1 cdot limx to 0^+ raizx = e^1 cdot 0 = 0

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se limx to 0^+ raizx cdot e^sin(pix) = 0 e os limites de e são iguais a , então o limite de também é . Aqui, ambos os limites laterais são 0, então:

Resposta

O limite é 0.

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