(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral x^3+2 x-1x^4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
integral x^3 + 2x - 1x^4 - x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1)
Então, o denominador fatorado fica:
x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. A fração fica assim:
x^3 + 2x - 1x^4 - x^2 = x^3 + 2x - 1x^2(x - 1)(x + 1)
Vamos decompor essa fração em:
Ax + Bx^2 + Cx - 1 + Dx + 1
Onde são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelos denominadores para eliminar as frações:
x^3 + 2x - 1 = A cdot x (x - 1)(x + 1) + B cdot (x - 1)(x + 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1)

Passo 5

Agora, escolhemos valores de 0 + 0 - 1 = A cdot 0 + B cdot (-1)(1) + C cdot 0 + D cdot 0 -1 = -B Rightarrow B = 1 que simplificam a equação para encontrar 1 + 2 - 1 = A cdot 1 cdot 0 + B cdot 0 + C cdot 1^2 cdot 2 + D cdot 1^2 cdot 0 2 = 2C Rightarrow C = 1 :
  • Para -1 + (-2) - 1 = A cdot (-1) cdot (-2)(0) + B cdot (-2)(0) + C cdot (-1)^2 cdot 0 + D cdot (-1)^2 cdot (-2) -4 = -2D Rightarrow D = 2 :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Para encontrar A cdot x (x^2 - 1) + B cdot (x^2 - 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1) , podemos escolher outro valor de A x^3 - A x + B x^2 - B + C x^3 + C x^2 + D x^3 - D x^2 ou comparar os coeficientes dos termos de cada grau. Vamos comparar os coeficientes.
Expandindo a expressão:
(A + C + D) x^3 + (B + C - D) x^2 + (-A) x + (-B)
Distribuindo:
A + C + D = 1 B + C - D = 0 -A = 2 -B = -1
Agrupando termos semelhantes:
A + 1 + 2 = 1 A = 1 - 3 A = -2
Igualando aos termos do numerador original :
Já sabemos que , , . Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
A = -2, B = 1, C = 1, D = 2
Então, a decomposição em frações parciais fica:
-2x + 1x^2 + 1x - 1 + 2x + 1

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral ( -2x + 1x^2 + 1x - 1 + 2x + 1 ) dx
Integrando termo a termo:
-2 integral 1x dx + integral 1x^2 dx + integral 1x - 1 dx + 2 integral 1x + 1 dx

Passo 9

Calculando cada integral:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-2 ln|x| - 1x + ln|x - 1| + 2 ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

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