Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
Aqui, estamos lidando com integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. A fração fica assim:
Vamos decompor essa fração em:
Onde são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelos denominadores para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação para encontrar :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Para encontrar , podemos escolher outro valor de ou comparar os coeficientes dos termos de cada grau. Vamos comparar os coeficientes.
Expandindo a expressão:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando aos termos do numerador original :
Já sabemos que , , . Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos todos os valores:
A = -2, B = 1, C = 1, D = 2
Então, a decomposição em frações parciais fica:
-2x + 1x^2 + 1x - 1 + 2x + 1
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral ( -2x + 1x^2 + 1x - 1 + 2x + 1 ) dx
Integrando termo a termo:
-2 integral 1x dx + integral 1x^2 dx + integral 1x - 1 dx + 2 integral 1x + 1 dx