Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
Aqui, estamos lidando com integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. A fração fica assim:
Vamos decompor essa fração em:
Onde são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelos denominadores para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação para encontrar :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Para encontrar , podemos escolher outro valor de ou comparar os coeficientes dos termos de cada grau. Vamos comparar os coeficientes.
Expandindo a expressão:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando aos termos do numerador original :
Já sabemos que , , . Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Calculando cada integral:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(s) .
A intersecção do cilindro com a esfera corresponde, em coordenadas esféricas, a
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.

a) é igual a 0
b) é igual a 2
c) é igual sobre todas as retas da forma , com
d) não existe
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.
(b) e .