a) é igual a 0
b) é igual a 2
c) é igual sobre todas as retas da forma , com
d) não existe
e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, a gente está trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, a gente precisa analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se e somente se o valor se aproxima do mesmo número independentemente do caminho que a gente escolhe para chegar no ponto (0,0).

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos para ver se o limite é o mesmo. Um caminho simples é ao longo das linhas retas da forma , onde é uma constante diferente de zero.

Passo 4

Substituindo na função, a gente tem:
Aqui, a simplificação mostra que o resultado depende do valor de . Ou seja, diferentes valores de dão diferentes resultados.

Passo 5

Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite seria .

Passo 6

Como o limite depende do valor de , significa que dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de (0,0), o limite dá valores diferentes.

Passo 7

Isso indica que o limite não existe, porque ele não converge para um único número independente do caminho escolhido.

Resposta

d) não existe

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(s) .
Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.
(b) e .
Sendo então é igual a
a) 0
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.