lim (x, y) (0,0) 4 x yx^2+y^2
a) é igual a 0
b) é igual a 2
c) é igual sobre todas as retas da forma y=k x, com k neq 0
d) não existe
e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) 4 x yx^2+y^2. Aqui, a gente está trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, a gente precisa analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se e somente se o valor se aproxima do mesmo número independentemente do caminho que a gente escolhe para chegar no ponto (0,0).

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos para ver se o limite é o mesmo. Um caminho simples é ao longo das linhas retas da forma y = kx, onde k é uma constante diferente de zero.

Passo 4

Substituindo y = kx na função, a gente tem:
4x(kx)x^2 + (kx)^2 = 4k x^2x^2(1 + k^2) = 4k1 + k^2
Aqui, a simplificação mostra que o resultado depende do valor de k. Ou seja, diferentes valores de k dão diferentes resultados.

Passo 5

Por exemplo:
  • Se k = 1, o limite é 4 times 11 + 1 = 2.
  • Se k = 2, o limite é 4 times 21 + 4 = 85.
  • Se k = 0, o limite seria 0.

Passo 6

Como o limite depende do valor de k, significa que dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de (0,0), o limite dá valores diferentes.

Passo 7

Isso indica que o limite não existe, porque ele não converge para um único número independente do caminho escolhido.

Resposta

d) não existe

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