A intersecção do cilindro com a esfera corresponde, em coordenadas esféricas, a
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre encontrar a intersecção entre um cilindro e uma esfera usando coordenadas esféricas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre geometria espacial e coordenadas esféricas para chegar na resposta correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
  • Cilindro:
  • Esfera:
Queremos encontrar onde essas duas formas se intersectam. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são uma maneira de representar pontos no espaço usando três parâmetros: , e .

Passo 3

Nas coordenadas esféricas:
Onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano .
  • é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos usar a equação da esfera primeiro. Sabemos que na esfera, . Usando as coordenadas esféricas, isso fica:
Simplificando:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do cilindro: . Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Como já sabemos que :

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Sabemos que quando (ou 30 graus).

Resposta

A intersecção das duas superfícies corresponde a . Portanto, a alternativa correta é a c) .

Exercícios relacionados

Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(s) .
Calcule as seguintes integrais: