A intersecção do cilindro
com a esfera
corresponde, em coordenadas esféricas, a
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre encontrar a intersecção entre um cilindro e uma esfera usando coordenadas esféricas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre geometria espacial e coordenadas esféricas para chegar na resposta correta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
- Cilindro:
- Esfera:
Queremos encontrar onde essas duas formas se intersectam. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são uma maneira de representar pontos no espaço usando três parâmetros:
,
e
.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas:
Onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano . -
é o ângulo em relação ao eixo .
Passo 4
Vamos usar a equação da esfera primeiro. Sabemos que na esfera,
. Usando as coordenadas esféricas, isso fica:
Simplificando:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos usar a equação do cilindro:
. Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Como já sabemos que
:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Sabemos que
quando
(ou 30 graus).
Resposta
A intersecção das duas superfícies corresponde a
. Portanto, a alternativa correta é a c)
.
Exercícios relacionados
Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(s) .
(s)