Calcule as seguintes integrais
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para calcular a integral:
Matéria envolvida: Integração de funções racionais, especificamente usando frações parciais.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador, simplificar a expressão e aplicar a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3. Vamos tentar dividir os polinômios para simplificar a expressão.
Podemos reescrever o denominador fatorando um
:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Percebemos que o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
), então vamos fazer a divisão dos polinômios para simplificar a fração.
Dividindo
por
, temos:
Portanto, a integral se torna:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Aqui, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos achar os valores de
e
.
Escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Se
:
Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, voltamos à integral:
Integrando:
Passo 7
Juntando tudo:
Podemos simplificar:
Resposta
A integral calculada é:
onde
é a constante de integração.