Calcule as seguintes integrais integral x^3x^3+x^2-6 x d x;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para calcular a integral:
integral x^3x^3 + x^2 - 6x , dx
Matéria envolvida: Integração de funções racionais, especificamente usando frações parciais.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador, simplificar a expressão e aplicar a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3. Vamos tentar dividir os polinômios para simplificar a expressão.
x^3x^3 + x^2 - 6x
Podemos reescrever o denominador fatorando um x^3 + x^2 - 6x = x(x^2 + x - 6) :
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
x(x + 3)(x - 2)
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral x^3x(x + 3)(x - 2) , dx = integral x^2(x + 3)(x - 2) , dx
Percebemos que o grau do numerador ( x^2x^2 + x - 6 = 1 - x - 6x^2 + x - 6 ) é igual ao grau do denominador ( integral (1 - x - 6(x + 3)(x - 2)) , dx = integral 1 , dx - integral x - 6(x + 3)(x - 2) , dx ), então vamos fazer a divisão dos polinômios para simplificar a fração.
Dividindo por , temos:
Portanto, a integral se torna:

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral 1 , dx = x + C1
Segunda parte:
integral x - 6(x + 3)(x - 2) , dx
Aqui, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
x - 6(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x - 6 = A(x - 2) + B(x + 3) :
2 - 6 = A(2 - 2) + B(2 + 3) Rightarrow -4 = 0 + 5B Rightarrow B = -45
Agora, vamos achar os valores de -3 - 6 = A(-3 - 2) + B(-3 + 3) Rightarrow -9 = -5A + 0 Rightarrow A = 95 e x - 6(x + 3)(x - 2) = 9/5x + 3 - 4/5x - 2 .
Escolhemos valores de que simplificam a equação.
Se :
Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, voltamos à integral:
integral x - 6(x + 3)(x - 2) , dx = 95 integral 1x + 3 , dx - 45 integral 1x - 2 , dx
Integrando:
95 ln|x + 3| - 45 ln|x - 2| + C2

Passo 7

Juntando tudo:
integral x^3x^3 + x^2 - 6x , dx = x - ( 95 ln|x + 3| - 45 ln|x - 2| ) + C
Podemos simplificar:
x - 95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral calculada é:
x - 95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C
onde é a constante de integração.

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