Sea f(x, y) = (x^2 + y^2) * sen(pi / (x^2 + y^2)), con (x, y) ∈ (R^2 - (0,0)). Calcular f_x(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular onde a função . Aqui, a matéria envolvida é cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma derivada parcial em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a , denotada por , significa que estamos vendo como a função muda quando apenas varia, mantendo fixo. No nosso caso, queremos calcular no ponto .

Passo 3

Vamos começar aplicando a regra do produto para derivadas, pois nossa função é o produto de duas partes: e . A regra do produto diz que:
Onde é a derivada de em relação a e é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular . Como , derivando em relação a , temos:
No ponto , isso será .

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos . No ponto :

Passo 6

Seguimos para , que é a derivada de em relação a . Usaremos a regra da cadeia aqui. Seja , então . A derivada de em relação a é .
Primeiro, calculamos :
Então,
No ponto :

Passo 7

Agora, voltamos à expressão original da derivada parcial:
Substituindo os valores no ponto :

Resposta

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