Sea
, con
. Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
onde a função
. Aqui, a matéria envolvida é cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma derivada parcial em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a
, denotada por
, significa que estamos vendo como a função muda quando apenas
varia, mantendo
fixo. No nosso caso, queremos calcular
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a regra do produto para derivadas, pois nossa função é o produto de duas partes:
e
. A regra do produto diz que:
Onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
, derivando em relação a
, temos:
No ponto
, isso será
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Temos
. No ponto
:
Passo 6
Seguimos para
, que é a derivada de
em relação a
. Usaremos a regra da cadeia aqui. Seja
, então
. A derivada de
em relação a
é
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
No ponto
:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão original da derivada parcial:
Substituindo os valores no ponto
: