(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral x-1(x-2)^2 cdot(x-3) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função racional:
integral x - 1(x - 2)^2 cdot (x - 3) , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações parciais para integrar funções racionais. Para resolver isso, vamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Vamos decompor a fração x - 1(x - 2)^2 cdot (x - 3) = Ax - 2 + B(x - 2)^2 + Cx - 3 em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x - 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 3) + C(x - 2)^2 para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Vamos escolher valores específicos de 2 - 1 = A(0)(-1) + B(2 - 3) + C(0) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 que simplificam a equação:
  1. Para 3 - 1 = A(1)(0) + B(0) + C(1) Rightarrow 2 = C Rightarrow C = 2 :
  1. Para :

Passo 5

Agora, substituímos 0 - 1 = A(-2)(-3) + (-1)(-3) + 2(-2)^2 e -1 = 6A + 3 + 8 na equação original para encontrar -1 = 6A + 11 Rightarrow 6A = -12 Rightarrow A = -2 . Vamos usar, por exemplo, :

Passo 6

Agora que temos os valores de x - 1(x - 2)^2 cdot (x - 3) = -2x - 2 + -1(x - 2)^2 + 2x - 3 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -2x - 2 , dx + integral -1(x - 2)^2 , dx + integral 2x - 3 , dx
Vamos resolver cada integral:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral é:
-2 ln|x - 2| + 1x - 2 + 2 ln|x - 3| + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty sen(1n).
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty 1raizn^2+1
Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série sumn=1^infty cos (n piraizn é convergente.
Mostre que a função y(x) = -1/2 x cos(x) é solução da equação diferencial y'' + y = sen(x).