Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função racional:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações parciais para integrar funções racionais. Para resolver isso, vamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Vamos escolher valores específicos de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original para encontrar
. Vamos usar, por exemplo,
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
Resposta
Juntando todas as partes, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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.
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Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.