Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que não dá pra usar o Teste da Integral para determinar se a série
converge. A matéria envolvida aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Integral. Para resolver isso, vamos lembrar como funciona esse teste e verificar se ele se aplica a essa série.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teste da Integral? É um método que usamos para verificar se uma série infinita
converge, comparando-a com uma integral. Mas tem algumas condições para esse teste funcionar.
Passo 3
As condições para aplicar o Teste da Integral são:
- Os termos
devem ser positivos. - A função correspondente
deve ser contínua. - A função
deve ser decrescente para todo suficientemente grande.
Se todas essas condições forem atendidas, podemos integrar
de 1 até o infinito e ver se a integral converge. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. O termo geral é
. Vamos analisar as condições do Teste da Integral.
Passo 5
Primeiro, os termos
são positivos? Olha só:
alterna entre 1 e -1 porque
. Então, os termos
alternam entre positivo e negativo. Isso significa que os termos não são todos positivos, o que já viola a primeira condição do Teste da Integral.
Passo 6
Além disso, mesmo que a gente ignore os sinais, a função
é sim contínua e decrescente para
. Mas, como os termos da série não são todos positivos, o Teste da Integral não pode ser aplicado diretamente.
Passo 7
Em resumo, o problema está no fato de que os termos da série não são positivos, o que é uma exigência fundamental para o uso do Teste da Integral. Sem essa condição, o teste não funciona porque ele se baseia na comparação com a integral da função positiva.
Resposta
Portanto, o Teste da Integral não pode ser usado para determinar a convergência da série
porque os termos da série não são todos positivos, condição essencial para a aplicação desse teste.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
.
Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.
Resolva a equação diferencial.
.