Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série sumn=1^infty cos (n piraizn é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que não dá pra usar o Teste da Integral para determinar se a série converge. A matéria envolvida aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Integral. Para resolver isso, vamos lembrar como funciona esse teste e verificar se ele se aplica a essa série.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teste da Integral? É um método que usamos para verificar se uma série infinita converge, comparando-a com uma integral. Mas tem algumas condições para esse teste funcionar.

Passo 3

As condições para aplicar o Teste da Integral são:
  1. Os termos devem ser positivos.
  2. A função correspondente deve ser contínua.
  3. A função deve ser decrescente para todo suficientemente grande.
Se todas essas condições forem atendidas, podemos integrar de 1 até o infinito e ver se a integral converge. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a nossa série: . O termo geral é . Vamos analisar as condições do Teste da Integral.

Passo 5

Primeiro, os termos são positivos? Olha só: alterna entre 1 e -1 porque . Então, os termos alternam entre positivo e negativo. Isso significa que os termos não são todos positivos, o que já viola a primeira condição do Teste da Integral.

Passo 6

Além disso, mesmo que a gente ignore os sinais, a função é sim contínua e decrescente para . Mas, como os termos da série não são todos positivos, o Teste da Integral não pode ser aplicado diretamente.

Passo 7

Em resumo, o problema está no fato de que os termos da série não são positivos, o que é uma exigência fundamental para o uso do Teste da Integral. Sem essa condição, o teste não funciona porque ele se baseia na comparação com a integral da função positiva.

Resposta

Portanto, o Teste da Integral não pode ser usado para determinar a convergência da série porque os termos da série não são todos positivos, condição essencial para a aplicação desse teste.

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(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral x-1(x-2)^2 cdot(x-3) d x
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty sen(1n).
Mostre que a função y(x) = -1/2 x cos(x) é solução da equação diferencial y'' + y = sen(x).
Resolva a equação diferencial.
d/y = x * y^2.