Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty 1raizn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação no Limite, que é uma técnica para comparar a série que estamos estudando com outra que já sabemos se converge ou diverge. Então, precisamos entender um pouquinho sobre séries e esse teste para resolvermos o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série que temos: . Quando fica bem grande, o domina o dentro da raiz. Então, fica aproximadamente igual a . Portanto, nosso termo se comporta como para valores grandes de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série é uma série harmônica conhecida e ela diverge, ou seja, não tem soma finita. Vamos usar essa série como nossa comparação .

Passo 4

Aplicando o Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty anbn = limn to infty 1raizn^2+11n = limn to infty nraizn^2+1
Simplificando dentro do limite:
nraizn^2+1 = 1raiz1 + 1n^2
Quando limn to infty 1raiz1 + 1n^2 = 1raiz1 + 0 = 1 vai para o infinito, vai para , então:

Passo 5

O limite que encontramos foi , que é um número positivo e finito. Segundo o Teste da Comparação no Limite, se esse limite é maior que e finito, as duas séries (a que estamos estudando e a de comparação) têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.

Resposta

Como a série de comparação diverge e o limite do quociente foi , concluímos que a série também diverge.

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