Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação no Limite, que é uma técnica para comparar a série que estamos estudando com outra que já sabemos se converge ou diverge. Então, precisamos entender um pouquinho sobre séries e esse teste para resolvermos o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série que temos:
. Quando
fica bem grande, o
domina o
dentro da raiz. Então,
fica aproximadamente igual a
. Portanto, nosso termo se comporta como
para valores grandes de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série
é uma série harmônica conhecida e ela diverge, ou seja, não tem soma finita. Vamos usar essa série como nossa comparação
.
Passo 4
Aplicando o Teste da Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando dentro do limite:
Quando
vai para o infinito,
vai para
, então:
Passo 5
O limite que encontramos foi
, que é um número positivo e finito. Segundo o Teste da Comparação no Limite, se esse limite é maior que
e finito, as duas séries (a que estamos estudando e a de comparação) têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.
Resposta
Como a série de comparação
diverge e o limite do quociente foi
, concluímos que a série
também diverge.
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Por diferenciação implícita, encontre a inclinaçâo do hiperbolóide
na direşão
no ponto
. Verifique seu resultado resolvendo para
e diferenciando as funções resultantes diretamente.
Mostre que
não existe.
1 P.
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Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
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