Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é solução da equação diferencial
. Isso envolve calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se ela satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas. A primeira derivada
nos mostra a taxa de variação da função, e a segunda derivada
mostra como essa taxa de variação está mudando.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
de
. Usamos a regra do produto aqui:
Explicando: derivamos
que dá 1 multiplicado por
, e depois
que dá
multiplicado por
, lembrando do fator
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Derivamos
:
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Perceba que
e
se cancelam.
Passo 6
Assim, sobra:
Isso mostra que a equação é satisfeita, ou seja, a função
realmente resolve a equação diferencial dada.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
.