Mostre que a função y(x) = -1/2 x cos(x) é solução da equação diferencial y'' + y = sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é solução da equação diferencial . Isso envolve calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se ela satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas. A primeira derivada nos mostra a taxa de variação da função, e a segunda derivada mostra como essa taxa de variação está mudando.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . Usamos a regra do produto aqui:
Explicando: derivamos que dá 1 multiplicado por , e depois que dá multiplicado por , lembrando do fator .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivamos :
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos substituir e na equação diferencial :
Perceba que e se cancelam.

Passo 6

Assim, sobra:
Isso mostra que a equação é satisfeita, ou seja, a função realmente resolve a equação diferencial dada.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial .

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