Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A gente vai usar o teste da comparação no limite, que é uma técnica da matéria de séries infinitas para analisar o comportamento dessas somas. Para isso, vamos comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da comparação no limite. Ele diz que, se tivermos duas séries
e
com
, e se o limite
, onde
é um número real diferente de zero e infinito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série
para comparar com a nossa série original . Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por . Então, vamos comparar nossa série com a série
, que é uma série harmônica conhecida por divergir.
Passo 4
Vamos calcular o limite . Usando a aproximação para
próximo de zero, esse limite deve nos dar uma ideia melhor.
Passo 5
Calculando o limite:
O limite é igual a 1, que é um número real diferente de zero.
Passo 6
Segundo o teste da comparação no limite, como o limite é 1, que é diferente de zero, e sabemos que a série
diverge, então a nossa série também diverge.
Resposta
A série diverge.
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na direşão
no ponto
. Verifique seu resultado resolvendo para
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