Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty sen(1n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A gente vai usar o teste da comparação no limite, que é uma técnica da matéria de séries infinitas para analisar o comportamento dessas somas. Para isso, vamos comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da comparação no limite. Ele diz que, se tivermos duas séries sum an e sum bn com an, bn > 0, e se o limite limn to infty anbn = c, onde c é um número real diferente de zero e infinito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série sum bn para comparar com a nossa série original . Sabemos que, para valores pequenos de sum sen(1n), a função seno pode ser aproximada por . Então, vamos comparar nossa série com a série x, que é uma série harmônica conhecida por divergir.

Passo 4

Vamos calcular o limite . Usando a aproximação para limn to infty sen(1n)1n próximo de zero, esse limite deve nos dar uma ideia melhor.

Passo 5

Calculando o limite:
O limite é igual a 1, que é um número real diferente de zero.

Passo 6

Segundo o teste da comparação no limite, como o limite é 1, que é diferente de zero, e sabemos que a série sum 1n diverge, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty 1raizn^2+1
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