Calcule as seguintes integrais integral x+5x^2+x-2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , porque e . Então, o denominador pode ser escrito como:

Passo 3

Com o denominador fatorado, vamos reescrever a fração x+5(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1 usando frações parciais. Queremos encontrar constantes x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2) e tais que:
Multiplicando ambos os lados pela forma completa do denominador , obtemos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 1 + 5 = A(1 - 1) + B(1 + 2) Rightarrow 6 = 0 + 3B Rightarrow B = 2 e -2 + 5 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) Rightarrow 3 = -3A + 0 Rightarrow A = -1 . Podemos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, se :
Em seguida, se :

Passo 5

Com x+5(x + 2)(x - 1) = -1x + 2 + 2x - 1 e integral -1x + 2 , dx + integral 2x - 1 , dx , a fração original fica:
- ln|x + 2| + 2 ln|x - 1| + C
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
A integral de é , então:

Resposta

A integral - ln|x + 2| + 2 ln|x - 1| + C é igual a:

Exercícios relacionados