Calcule as seguintes integrais
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, porque
e
. Então, o denominador pode ser escrito como:
Passo 3
Com o denominador fatorado, vamos reescrever a fração
usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pela forma completa do denominador
, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro, se
:
Em seguida, se
:
Passo 5
Com
e
, a fração original fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, então:
Resposta
A integral
é igual a: