Calcule as seguintes integrais integral0^infty e^-a x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e como lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Essa é uma função exponencial decrescente, onde é uma constante positiva que controla a taxa de decaimento.

Passo 3

Sabemos que a integral de integral e^-a x , dx = -1a e^-a x + C em relação a é , onde é a constante de integração. No nosso caso, . Então, a integral indefinida de é:

Passo 4

Agora, como temos limites de integração de 0 até integral0^infty e^-a x , dx = [ -1a e^-a x ]0^infty , vamos calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que precisamos avaliar a primitiva nos limites e subtrair:

Passo 5

Vamos substituir os limites na expressão acima. Primeiro, para -1a e^-a cdot infty = -1a cdot 0 = 0 :
-1a e^-a cdot 0 = -1a cdot 1 = -1a
Porque tende a zero quando .
Agora, para :

Passo 6

Subtraindo os dois resultados:
0 - ( -1a ) = 1a

Resposta

A integral é igual a .

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