Calcule as seguintes integrais
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e como lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Essa é uma função exponencial decrescente, onde
é uma constante positiva que controla a taxa de decaimento.
Passo 3
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. No nosso caso,
. Então, a integral indefinida de
é:
Passo 4
Agora, como temos limites de integração de 0 até
, vamos calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que precisamos avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Passo 5
Vamos substituir os limites na expressão acima. Primeiro, para
:
Porque
tende a zero quando
.
Agora, para
:
Passo 6
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral
é igual a
.