Calcule as seguintes integrais integral0^infty x e^-a x d x;

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Essa questão está no campo de Cálculo, mais especificamente em integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada para integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^-a x dx
Agora, vamos calcular du = dx e v = integral e^-a x dx = -1a e^-a x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-a x dx = u v - integral v du
Substituindo os valores:
= x ( -1a e^-a x ) - integral ( -1a e^-a x ) dx
= -xa e^-a x + 1a integral e^-a x dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral e^-a x dx = -1a e^-a x + C
Então, substituindo de volta:
-xa e^-a x + 1a ( -1a e^-a x ) + C
= -xa e^-a x - 1a^2 e^-a x + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ -xa e^-a x - 1a^2 e^-a x ]0^infty :
-0 - 1a^2 (1) = -1a^2
Quando 0 - ( -1a^2 ) = 1a^2 , , então a expressão se anula. Quando :
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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