Sea
. Hallar
y
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função
que é definida de um jeito diferente dependendo se o ponto
é igual a
ou não. O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais dessa função em alguns pontos específicos:
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Como
, usamos a expressão
.
A derivada parcial em relação a
é:
Vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Agora substituímos
e
:
Passo 3
Agora vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Novamente, usamos
.
A derivada parcial em relação a
é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, temos que calcular
e
. Aqui a função é definida como
. Para encontrar as derivadas parciais nesse ponto, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para
:
Mas precisamos verificar se esse limite existe de forma consistente.
No entanto, analisando cuidadosamente, percebemos que:
Então:
Agora, para
: