Sea f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }. Hallar fx(1,1), fy(1,1), fx(0,0) y f_y(0,0)

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função que é definida de um jeito diferente dependendo se o ponto é igual a ou não. O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais dessa função em alguns pontos específicos: e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a no ponto . Como , usamos a expressão .
A derivada parcial em relação a é:
Vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Agora substituímos e :

Passo 3

Agora vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a no ponto . Novamente, usamos .
A derivada parcial em relação a é:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, temos que calcular e . Aqui a função é definida como . Para encontrar as derivadas parciais nesse ponto, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para :
Mas precisamos verificar se esse limite existe de forma consistente.
No entanto, analisando cuidadosamente, percebemos que:
Então:
Agora, para :

Resposta

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