Calcule as seguintes integrais:
a) integral0^1 integral1^2 integral0^x 3 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que você mandou:
integral0^1 integral1^2 integral0^x 3 , dz , dx , dy
Esse exercício faz parte do cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular integrais em várias dimensões, além de saber lidar com os limites de integração que definem a região onde vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem de integração que temos aqui: , depois , e por último . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a , e finalmente a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função constante 3 em relação a integrala^b c , dz = c(z) |a^b = c(b - a) , mantendo integral0^x 3 , dz = 3z |0^x = 3x - 0 = 3x e fixos. A integral de uma constante em relação a de a é:
Aplicando isso à nossa integral:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral seguinte, que é em relação a integral1^2 3x , dx :
integral 3x , dx = 32x^2 + C
A integral de 32(2)^2 - 32(1)^2 = 32(4) - 32(1) = 6 - 32 = 92 em relação a é:
Avaliada de 1 a 2:

Passo 5

Por último, substituímos esse resultado na última integral, que é em relação a integral0^1 92 , dy :
92y |0^1 = 92(1) - 92(0) = 92
Como é uma constante, a integral fica:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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