(1,5) Calcule as seguintes integrais: integral0^2 integral0^pi / 2 x cos (x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro com respeito a e depois com respeito a . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a integral0^pi / 2 x cos(x y) , dy :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar integral cos(u) cdot dux cdot x = integral cos(u) , du . Assim, a diferencial , o que significa que .
Substituindo na integral:
A constante cancela, simplificando a integral.

Passo 4

A integral de sin(u) + C = sin(x y) + C em relação a sin(x cdot pi2) - sin(0) = sin(pi x2) - 0 = sin(pi x2) é . Então, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 5

Agora, temos a integral resultante em termos de integral0^2 sin(pi x2) , dx :
Para resolver essa integral, vamos integrar , onde .

Passo 6

A integral de - cos(a x)a + C em relação a - cos(pi x2)pi2 + C = - 2pi cos(pi x2) + C é:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de - 2pi cos(pi cdot 22) + 2pi cos(pi cdot 02) a - 2pi cos(pi) + 2pi cos(0) = - 2pi (-1) + 2pi (1) = 2pi + 2pi = 4pi :
Simplificando:

Resposta

A integral dupla vale .

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