Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro com respeito a e depois com respeito a . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Assim, a diferencial , o que significa que .
Substituindo na integral:
A constante cancela, simplificando a integral.

Passo 4

A integral de em relação a é . Então, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 5

Agora, temos a integral resultante em termos de :
Para resolver essa integral, vamos integrar , onde .

Passo 6

A integral de em relação a é:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

(b)

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Resolva as seguintes equações diferenciais.
b) , verifique se a solução encontrada está correta.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: