Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro com respeito a
e depois com respeito a
. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar
. Assim, a diferencial
, o que significa que
.
Substituindo na integral:
A constante
cancela, simplificando a integral.
Passo 4
A integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 5
Agora, temos a integral resultante em termos de
:
Para resolver essa integral, vamos integrar
, onde
.
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
(b)
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Resolva as seguintes equações diferenciais.
b) , verifique se a solução encontrada está correta.
b)