(1,5) Calcule as seguintes integrais: integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando da integral mais interna para a externa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y z , dz = z^22 |0^x+y = (x+y)^22 - 0^22 = (x+y)^22 . A integral interna é .
Lembre-se que a integral de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, substituímos esse resultado na integral do meio:
integralx^2x (x+y)^22 , dy
Vamos tirar o 12 integralx^2x (x + y)^2 , dy para facilitar:

Passo 4

Para integrar 12 integral2x^3x u^2 , du em relação a 12 u^33 |2x^3x = 16 ( (3x)^3 - (2x)^3 ) = 16 (27x^3 - 8x^3) = 19x^36 , fazemos a substituição , então .
Os limites de integração quando , , e quando , .
Então a integral fica:
A integral de em relação a é :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral mais externa:
integral0^1 19x^36 , dx
Podemos tirar a constante 196 integral0^1 x^3 , dx para facilitar:

Passo 6

A integral de 196 x^44 |0^1 = 196 ( 1^44 - 0^44 ) = 196 cdot 14 = 1924 em relação a é . Então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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