Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral
. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e seguir os limites de integração direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integração interna, que é a parte mais dentro da integral dupla. Nesse caso, vamos integrar em relação a
, enquanto
é tratado como uma constante.
A integral interna é:
Vamos integrar termo a termo:
-
Integrando
em relação a : Aqui, comonão depende de , ele sai da integral como um coeficiente. -
Integrando
em relação a : A integral deé , mas como temos um na frente, assim simplifica para .
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 3
Agora, vamos para a integração externa, que é integrar o resultado anterior em relação a
, com os limites de
a
.
A integral externa fica:
Vamos integrar termo a termo novamente:
-
Integrando
em relação a : -
Integrando
em relação a :
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Resolva em
as inequações abaixo:
(f) ;
(f)
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Calcule as seguintes integrais: