Calcule as seguintes integrais: (1,5) integral0^1 integralx^2 x(4 x^3+2 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral . Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e seguir os limites de integração direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é a parte mais dentro da integral dupla. Nesse caso, vamos integrar em relação a integralx^2x (4x^3 + 2y) dy , enquanto integral 4x^3 , dy = 4x^3 y é tratado como uma constante.
A integral interna é:
integral 2y , dy = y^2
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrando 4x^3(2x) + (2x)^2 - [4x^3(x) + x^2] em relação a 8x^4 + 4x^2 - 4x^4 - x^2 = 4x^4 + 3x^2 :
    Aqui, como não depende de , ele sai da integral como um coeficiente.
  2. Integrando em relação a :
    A integral de é , mas como temos um na frente, assim simplifica para .
Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :
Simplificando:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 3

Agora, vamos para a integração externa, que é integrar o resultado anterior em relação a integral0^1 (4x^4 + 3x^2) dx , com os limites de integral 4x^4 , dx = 4 cdot x^55 = 4x^55 a integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3 .
A integral externa fica:
(4(1)^55 + (1)^3) - (4(0)^55 + (0)^3) = 45 + 1 = 95
Vamos integrar termo a termo novamente:
  1. Integrando em relação a :
  2. Integrando em relação a :
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

O valor da integral é .

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