Calcule as seguintes integrais: (1,0) integral1^2 integral0^ln (x) 12-e^y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e possivelmente usar substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar com a integral interna, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma antiderivada dessa função em relação a .

Passo 3

Para integrar , podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos , o que significa que . Mas como , substituímos e obtemos .

Passo 4

Agora, substituindo na integral:
integral 1u cdot -du2 - u = -integral 1u(2 - u) , du

Passo 5

Para resolver 1u(2 - u) = Au + B2 - u , vamos usar frações parciais. Podemos escrever:
1 = A(2 - u) + B(u)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Resolvendo para 1u(2 - u) = 12u + 12(2 - u) e :
  • Quando :
  • Quando :
Então, a fração parcial fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-integral ( 12u + 12(2 - u) ) du = -12 ln|u| + 12 ln|2 - u| + C
Substituindo -12 ln|2 - e^y| + 12 ln|e^y| + C = 12 ln( e^y2 - e^y ) + C :

Passo 8

Agora aplicamos os limites de integração de 12 ln( e^ln(x)2 - e^ln(x) ) - 12 ln( e^02 - e^0 ) = 12 ln( x2 - x ) - 12 ln( 11 ) a 12 ln( x2 - x ) :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a 12 integral1^2 ln( x2 - x ) , dx de 12 ( integral1^2 ln(x) , dx - integral1^2 ln(2 - x) , dx ) a :
Vamos separar a integral:

Passo 10

Integrando cada parte:
  • [ x ln(x) - x ]1^2 - [ -(2 - x) ln(2 - x) + (2 - x) ]1^2
Aplicando os limites:

Passo 11

Calculando:
Para 2 ln(2) - 2 - [0] = 2 ln(2) - 2 :
1 ln(1) - 1 - [-(1) ln(1) + 1] = -1 -1 = -2
Para (2 ln(2) - 2) - (-2) = 2 ln(2) :
A diferença é:

Resposta

A integral dupla vale .

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