Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla:
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e possivelmente usar substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos começar com a integral interna, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma antiderivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Para integrar
, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos
, o que significa que
. Mas como
, substituímos e obtemos
.
Passo 4
Agora, substituindo na integral:
Passo 5
Para resolver
, vamos usar frações parciais. Podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Resolvendo para
e
:
- Quando
: ⟹ - Quando
: ⟹
Então, a fração parcial fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
:
Passo 8
Agora aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Vamos separar a integral:
Passo 10
Integrando cada parte:
Aplicando os limites:
Passo 11
Calculando:
Para
:
Para
:
A diferença é:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Calcule as seguintes integrais:
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Verifique se
satisfaz a equaçáo de Laplace(1749-1827):
;