Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como lidar com os limites de integração que dependem uns dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral mais interna é . Para isso, usamos a regra básica de integração:
Aplicando os limites de integração:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em relação a na integral do meio:
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral em relação a fica:

Passo 4

Agora, resta integrar em relação a :
Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Primeiro, expandimos :
Então, multiplicando por :
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 5

Agora, somamos as frações:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

A função custo de cada empresa que produz um certo bem é dada por , enquanto a função demanda do bem é dada por . O preço e a quantidade total transacionada de equilíbrio de longo prazo são:
a. 2 e 4 .
b. 4 e 600 .
c. 2 e 800 .

d. 4 e 2 .

Um mercado possui firmas idênticas cuja função custo é dada por
A demanda de mercado é dada por:
Ache a quantidade produzida pela firma no equilíbrio de longo prazo desse mercado.
Considere que a indústria de palhas de aço é caracterizada por ser uma concorrência perfeita, isto é, todas as firmas operam em competição perfeita. A função custo total para cada uma das firmas desta indústria segue a equação: . Pergunta-se:
Imagine que a demanda do mercado seja alterada para , qual o preço deste produto no curtíssimo prazo? Qual o lucro para cada uma das firmas no curtíssimo prazo?
Um mercado de concorrência perfeita está em equilíbrio de longo prazo com a curva de oferta expressa por e a curva de demanda expressa por . Se a curva de demanda for alterada para , então, no curtíssimo prazo:
a. O preço de equilíbrio será igual a .
b. O preço de equilíbrio será igual a .
c. A quantidade produzida será igual a 13,33 .
d. O preço de equilíbrio é .
e. A quantidade produzida diminui.