Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
. Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como lidar com os limites de integração que dependem uns dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral mais interna é
. Para isso, usamos a regra básica de integração:
Aplicando os limites de integração:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da integral em relação a
na integral do meio:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a integral em relação a
fica:
Passo 4
Agora, resta integrar em relação a
:
Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Primeiro, expandimos
:
Então, multiplicando por
:
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 5
Agora, somamos as frações:
Resposta
O valor da integral tripla é
.