(1,5) Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integralx^2 x integral0^x+1 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como lidar com os limites de integração que dependem uns dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral z, dz = 12 z^2 + C . A integral mais interna é integral0^x+1 z, dz = [12 z^2]0^x+1 = 12 (x+1)^2 - 12 (0)^2 = 12 (x+1)^2 . Para isso, usamos a regra básica de integração:
Aplicando os limites de integração:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em relação a integralx^2x 12 (x+1)^2, dy na integral do meio:
12 (x+1)^2 integralx^2x dy = 12 (x+1)^2 (2x - x) = 12 (x+1)^2 (x) = x2 (x+1)^2
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral em relação a fica:

Passo 4

Agora, resta integrar em relação a integral0^1 x2 (x+1)^2, dx :
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Primeiro, expandimos x2 (x^2 + 2x + 1) = 12 x^3 + x^2 + 12 x :
integral (12 x^3 + x^2 + 12 x) dx = 12 cdot x^44 + x^33 + 12 cdot x^22 + C = x^48 + x^33 + x^24 + C
Então, multiplicando por [1^48 + 1^33 + 1^24] - [0^48 + 0^33 + 0^24] = 18 + 13 + 14 :
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 5

Agora, somamos as frações:
18 + 13 + 14 = 324 + 824 + 624 = 1724

Resposta

O valor da integral tripla é .

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