Um mercado possui firmas idênticas cuja função custo é dada por
A demanda de mercado é dada por:
Ache a quantidade produzida pela firma no equilíbrio de longo prazo desse mercado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de microeconomia! A gente tem um mercado com várias firmas iguais, com uma função de custo dada por
. A demanda do mercado é
. Nossa missão é descobrir quanto cada firma vai produzir no equilíbrio de longo prazo. Para isso, vamos precisar entender de teoria de custos, equilíbrio de mercado em competição perfeita e como relacionar oferta e demanda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no equilíbrio de longo prazo em competição perfeita, as firmas operam no ponto onde o preço é igual ao custo médio mínimo. Isso significa que cada firma vai produzir na quantidade onde o custo médio está no menor ponto possível.
Passo 3
Vamos calcular o Custo Médio (CM) da firma. O CM é dado por
. Então:
Passo 4
Para encontrar o mínimo do custo médio, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Então, o custo médio mínimo ocorre quando
.
Passo 5
No equilíbrio de longo prazo, o preço
é igual ao custo médio mínimo:
Passo 6
Agora, vamos usar a curva de demanda para encontrar a quantidade total
no mercado quando
:
Passo 7
Sabendo que todas as firmas são iguais e cada uma produz
, podemos encontrar o número de firmas
no mercado:
Passo 8
Finalmente, confirmamos que cada firma produz
unidades no equilíbrio de longo prazo.
Resposta
Cada firma produz
unidades no equilíbrio de longo prazo.