A função custo de cada empresa que produz um certo bem é dada por C(q) = q^3 - 4*q^2 + 8*q, enquanto a função demanda do bem é dada por Q = 1000 - 100 P. O preço e a quantidade total transacionada de equilíbrio de longo prazo são:
a. 2 e 4 .
b. 4 e 600 .
c. 2 e 800 .

d. 4 e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de microeconomia onde precisamos encontrar o preço e a quantidade de equilíbrio no longo prazo para uma empresa que produz um certo bem. A gente vai precisar entender funções de custo e demanda, além de conceitos de equilíbrio de mercado. Vamos usar matemática básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função de custo da empresa, que é dada por:
Aqui, representa a quantidade produzida. Para entender melhor os custos da empresa, precisamos encontrar o custo marginal (MC), que é a derivada da função de custo em relação à quantidade:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função de demanda, que é:
Onde é a quantidade demandada e é o preço. No equilíbrio de longo prazo, o preço ( ) é igual ao custo marginal ( ), e as empresas estão fazendo lucro zero, ou seja, o preço também é igual ao custo médio (AC) mínimo.

Passo 4

Vamos encontrar o custo médio (AC). A função de custo médio é:
Para encontrar o ponto de mínimo do custo médio, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, o custo médio mínimo ocorre quando . Vamos calcular o preço nesse ponto:
Portanto, no equilíbrio de longo prazo, o preço .

Passo 5

Com o preço , vamos encontrar a quantidade total usando a função de demanda:

Resposta

A resposta correta é:
b. 4 e 600.

Exercícios relacionados