A função custo de cada empresa que produz um certo bem é dada por
, enquanto a função demanda do bem é dada por
. O preço e a quantidade total transacionada de equilíbrio de longo prazo são:
a. 2 e 4 .
b. 4 e 600 .
c. 2 e 800 .
d. 4 e 2 .
a. 2 e 4 .
b. 4 e 600 .
c. 2 e 800 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de microeconomia onde precisamos encontrar o preço e a quantidade de equilíbrio no longo prazo para uma empresa que produz um certo bem. A gente vai precisar entender funções de custo e demanda, além de conceitos de equilíbrio de mercado. Vamos usar matemática básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função de custo da empresa, que é dada por:
Aqui,
representa a quantidade produzida. Para entender melhor os custos da empresa, precisamos encontrar o custo marginal (MC), que é a derivada da função de custo em relação à quantidade:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função de demanda, que é:
Onde
é a quantidade demandada e
é o preço. No equilíbrio de longo prazo, o preço (
) é igual ao custo marginal (
), e as empresas estão fazendo lucro zero, ou seja, o preço também é igual ao custo médio (AC) mínimo.
Passo 4
Vamos encontrar o custo médio (AC). A função de custo médio é:
Para encontrar o ponto de mínimo do custo médio, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então, o custo médio mínimo ocorre quando
. Vamos calcular o preço nesse ponto:
Portanto, no equilíbrio de longo prazo, o preço
.
Passo 5
Com o preço
, vamos encontrar a quantidade total
usando a função de demanda:
Resposta
A resposta correta é:
b. 4 e 600.