Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
(b)
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa identificar o tipo da EDO apresentada e relacionar com as classificações disponíveis: Separável, Homogênea, Exata, Linear e Bernoulli. Para isso, vamos usar conceitos básicos de EDOs e analisar a estrutura da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na EDO que temos:
Nosso objetivo é identificar a categoria correta dessa equação. Vamos verificar cada uma das opções de classificação para ver qual se encaixa melhor.
Passo 3
EDO Separável:
Uma EDO é separável se conseguimos escrever a equação na forma , ou seja, onde as funções de
e
estão separadas dos dois lados da equação.
Uma EDO é separável se conseguimos escrever a equação na forma
Vamos tentar isolar
:
Aqui,
depende apenas de
e
depende de
e
. Como não conseguimos separar completamente as variáveis
e
, a equação não é separável.
EDO Homogênea:
Uma EDO é homogênea se todas as funções presentes na equação têm o mesmo grau, ou seja, se ao substituir (onde
é uma função de
), a equação se torna dependente apenas de
.
Uma EDO é homogênea se todas as funções presentes na equação têm o mesmo grau, ou seja, se ao substituir
Vamos verificar o grau dos termos:
-
: grau -
: grau -
: grau
Os graus não são iguais, então a equação não é homogênea.
EDO Exata:
Uma EDO é exata se puder ser escrita na forma onde existe uma função potencial
tal que
e
.
Uma EDO é exata se puder ser escrita na forma
Vamos rearranjar a equação:
Parece complicado verificar a exatidão diretamente, mas geralmente, esse tipo de equação não é exata a menos que satisfaça uma condição específica, o que não ocorre aqui. Portanto, a equação não é exata.
EDO Linear:
Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma , onde
e
são funções de
.
Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma
Vamos transformar a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, está na forma
, onde
e
. Portanto, a equação é linear.
EDO Bernoulli:
Uma EDO é de Bernoulli se puder ser escrita na forma , onde
é um número real.
Uma EDO é de Bernoulli se puder ser escrita na forma
Nossa equação transformada:
Aqui, o termo de
está com potência 1, o que a torna uma equação linear comum, e não de Bernoulli. Portanto, não é Bernoulli.
Resposta
A equação diferencial
é Linear.
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Resolva as seguintes equações diferenciais.
b) , verifique se a solução encontrada está correta.
b)
Considere a equação diferencial
. Verifique se
é solução dessa EDO.