Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

(b)

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa identificar o tipo da EDO apresentada e relacionar com as classificações disponíveis: Separável, Homogênea, Exata, Linear e Bernoulli. Para isso, vamos usar conceitos básicos de EDOs e analisar a estrutura da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na EDO que temos:
Nosso objetivo é identificar a categoria correta dessa equação. Vamos verificar cada uma das opções de classificação para ver qual se encaixa melhor.

Passo 3

EDO Separável:
Uma EDO é separável se conseguimos escrever a equação na forma , ou seja, onde as funções de e estão separadas dos dois lados da equação.
Vamos tentar isolar :
Aqui, depende apenas de e depende de e . Como não conseguimos separar completamente as variáveis e , a equação não é separável.
EDO Homogênea:
Uma EDO é homogênea se todas as funções presentes na equação têm o mesmo grau, ou seja, se ao substituir (onde é uma função de ), a equação se torna dependente apenas de .
Vamos verificar o grau dos termos:
  • : grau
  • : grau
  • : grau
Os graus não são iguais, então a equação não é homogênea.
EDO Exata:
Uma EDO é exata se puder ser escrita na forma onde existe uma função potencial tal que e .
Vamos rearranjar a equação:
Parece complicado verificar a exatidão diretamente, mas geralmente, esse tipo de equação não é exata a menos que satisfaça uma condição específica, o que não ocorre aqui. Portanto, a equação não é exata.
EDO Linear:
Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma , onde e são funções de .
Vamos transformar a equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, está na forma , onde e . Portanto, a equação é linear.
EDO Bernoulli:
Uma EDO é de Bernoulli se puder ser escrita na forma , onde é um número real.
Nossa equação transformada:
Aqui, o termo de está com potência 1, o que a torna uma equação linear comum, e não de Bernoulli. Portanto, não é Bernoulli.

Resposta

A equação diferencial é Linear.

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b) , verifique se a solução encontrada está correta.
Considere a equação diferencial . Verifique se é solução dessa EDO.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: