Resolva as seguintes equações diferenciais.
b)
, verifique se a solução encontrada está correta.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Além disso, temos uma condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisaremos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois, integraremos para encontrar a solução geral e aplicaremos a condição inicial para encontrar a solução particular.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparecerá na integração.
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na função
:
A solução geral é dada por
. Portanto:
Passo 6
Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação geral:
Passo 7
Com
, a solução particular é:
Podemos rearranjar para:
Passo 8
Finalmente, vamos verificar se a solução encontrada satisfaz a equação diferencial original. Diferenciando
implicitamente:
Que é exatamente a equação diferencial dada. Portanto, a solução está correta.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
. Verifique se
é solução dessa EDO.
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
(d)
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
(b)
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli