Resolva as seguintes equações diferenciais.
b) (2x - y) dx - (x + 4y) dy = 0, y(1) = 2, verifique se a solução encontrada está correta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Além disso, temos uma condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisaremos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois, integraremos para encontrar a solução geral e aplicaremos a condição inicial para encontrar a solução particular.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Identificamos e . Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparecerá na integração.

Passo 4

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na função :
A solução geral é dada por . Portanto:

Passo 6

Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial . Substituindo e na equação geral:

Passo 7

Com , a solução particular é:
Podemos rearranjar para:

Passo 8

Finalmente, vamos verificar se a solução encontrada satisfaz a equação diferencial original. Diferenciando implicitamente:
Que é exatamente a equação diferencial dada. Portanto, a solução está correta.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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