Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge quando
vai para o infinito. Se ela convergir, também queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam o logaritmo natural (
) e a expressão
quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da nossa sequência:
. Essa expressão pode parecer complicada, mas dá pra simplificar entendendo o que acontece quando
cresce. Sabemos que
. Quando
tende ao infinito,
tende a zero, porque o logaritmo cresce mais devagar que
. Então:
Isso significa que, para
grande,
está se aproximando de 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
. Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limite quando
aumenta. Ou seja:
Passo 4
Juntando as informações dos passos anteriores, nossa sequência fica assim:
Como
tende ao infinito, isso significa que a sequência
também tende ao infinito.
Resposta
A sequência
diverge para infinito.