Quais das sequências a_n nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_n = ln(n) / n^(1/n)

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência e precisamos descobrir se ela converge ou diverge quando vai para o infinito. Se ela convergir, também queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam o logaritmo natural ( ) e a expressão quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da nossa sequência: . Essa expressão pode parecer complicada, mas dá pra simplificar entendendo o que acontece quando cresce. Sabemos que . Quando tende ao infinito, tende a zero, porque o logaritmo cresce mais devagar que . Então:
Isso significa que, para grande, está se aproximando de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: . Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limite quando aumenta. Ou seja:

Passo 4

Juntando as informações dos passos anteriores, nossa sequência fica assim:
Como tende ao infinito, isso significa que a sequência também tende ao infinito.

Resposta

A sequência diverge para infinito.

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