Determine a área da região do plano definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a área da região no plano definida pelas desigualdades:
Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de círculos e suas áreas. Para resolver, vamos precisar entender como dois círculos se relacionam no plano e usar fórmulas de áreas de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada desigualdade representa:
  1. : Esse é o conjunto de pontos dentro (ou na borda de) um círculo com centro em e raio .
  2. : Esse é o conjunto de pontos fora (ou na borda de) um círculo com centro na origem e também raio .
Então, a região é onde essas duas condições se encontram: pontos que estão dentro do círculo centrado em e ao mesmo tempo fora do círculo centrado na origem.

Passo 3

Para visualizar melhor, imagine dois círculos:
  • Círculo A: Centro em , raio .
  • Círculo B: Centro em , raio .
Queremos a área onde Círculo A cobre Círculo B, mas apenas a parte que está fora de Círculo B. Isso forma uma espécie de “lente” ou “olho de boi”.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos para saber os limites dessa área:
Resolvendo as equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Com , substituímos na segunda equação para encontrar :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, para calcular a área da região , usamos a fórmula da área de interseção de dois círculos:
Á
Onde:
  • (raio dos círculos)
  • (distância entre os centros dos círculos)
Substituindo:
Á
Simplificando:
Á
Sabemos que e , então:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

0 valor do limite vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide e pelo cilindro .