Determine a área da região
do plano
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a área da região
no plano
definida pelas desigualdades:
Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de círculos e suas áreas. Para resolver, vamos precisar entender como dois círculos se relacionam no plano e usar fórmulas de áreas de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada desigualdade representa:
-
: Esse é o conjunto de pontos dentro (ou na borda de) um círculo com centro em e raio . -
: Esse é o conjunto de pontos fora (ou na borda de) um círculo com centro na origem e também raio .
Então, a região
é onde essas duas condições se encontram: pontos que estão dentro do círculo centrado em
e ao mesmo tempo fora do círculo centrado na origem.
Passo 3
Para visualizar melhor, imagine dois círculos:
- Círculo A: Centro em
, raio . - Círculo B: Centro em
, raio .
Queremos a área onde Círculo A cobre Círculo B, mas apenas a parte que está fora de Círculo B. Isso forma uma espécie de “lente” ou “olho de boi”.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos para saber os limites dessa área:
Resolvendo as equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Com
, substituímos na segunda equação para encontrar
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, para calcular a área da região
, usamos a fórmula da área de interseção de dois círculos:
Onde:
-
(raio dos círculos) -
(distância entre os centros dos círculos)
Substituindo:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
0 valor do limite
vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)
a) 0
b)
c)
d)
e)
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Acima do plano