Calcule as seguintes integrais: integral0^2(t,-t^3, 3 t^5) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial (t, -t^3, 3t^5) de 0 a 2. Isso envolve matéria de cálculo integral, especificamente integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente da função separadamente usando as regras de integração que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o componente t. A integral de t em relação a t é:
integral t , dt = t^22
Agora, avaliamos essa antiderivada no intervalo de 0 a 2:
t^22 |0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente, que é -t^3. A integral de -t^3 é:
integral -t^3 , dt = -t^44
Avaliando de 0 a 2:
-t^44 |0^2 = -2^44 - (-0^44) = -164 - 0 = -4

Passo 4

Por último, temos o componente 3t^5. A integral de 3t^5 é:
integral 3t^5 , dt = 3t^66 = t^62
Avaliando de 0 a 2:
t^62 |0^2 = 2^62 - 0^62 = 642 - 0 = 32

Resposta

Então, a integral da função vetorial (t, -t^3, 3t^5) de 0 a 2 é:
(2, -4, 32)

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