Calcule as seguintes integrais: (1,0) integral0^1 integral0^1(4 x^3+3 y^2) d x d y

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração dupla, que nos ajuda a encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo como constante. Isso significa que tratamos como um número fixo enquanto integramos em .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^1 (4x^3 + 3y^2) dx = integral0^1 4x^3 dx + integral0^1 3y^2 dx

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 4x^3 dx = 4 [ x^44 ]0^1 = [ x^4 ]0^1 = 1^4 - 0^4 = 1
Segunda integral:
integral0^1 3y^2 dx = 3y^2 integral0^1 dx = 3y^2 [x]0^1 = 3y^2 (1 - 0) = 3y^2

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais em 1 + 3y^2 :
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a no intervalo de 0 a 1.

Passo 6

Vamos integrar integral0^1 (1 + 3y^2) dy = integral0^1 1 , dy + integral0^1 3y^2 , dy em relação a integral0^1 1 , dy = [y]0^1 = 1 - 0 = 1 :
integral0^1 3y^2 , dy = 3 [ y^33 ]0^1 = [y^3]0^1 = 1^3 - 0^3 = 1
Resolvendo cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 7

Somando os resultados das integrais em 1 + 1 = 2 :

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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