Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(e)
Sol.
(e)
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial dado por
. Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função potencial
para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? É um campo onde o trabalho realizado ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho seguido. Matematicamente, isso significa que existem funções parciais que satisfazem certas condições de igualdade das derivadas cruzadas. Se o campo for conservativo, podemos encontrar uma função
tal que
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais. Sabemos que:
onde
e
.
Passo 4
As condições para que
seja conservativo são que as derivadas mistas sejam iguais:
Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que:
Não, isso não é verdade a menos que
, o que não é geral.
Passo 6
Parece que houve um erro na verificação das derivadas. Vamos recalcular:
Na verdade, elas são iguais:
Isso implica que
é conservativo.
Passo 7
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Onde
é uma função apenas de
.
Passo 8
Para encontrar
, usamos a outra componente:
Derivando
em relação a
:
Igualando com
:
Simplificando:
Isso sugere que
deve ser ajustado para que as equações coincidam, mas percebemos que
deve ser uma constante, pois a parte que depende de
já está coberta. Assim, assumimos
, uma constante.
Resposta
A função potencial é
, onde
é uma constante.