Calcule as seguintes integrais: integral0^1 x^2 e^-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a função u = x^3 , vemos que o expoente de du = 3x^2 dx é x^2 dx = du3 . Vamos escolher:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Queremos expressar em termos de , então dividimos ambos os lados por 3:

Passo 3

Agora, substituímos integral0^1 x^2 e^-x^3 , dx = integralu(0)^u(1) e^-u cdot du3 e u(0) = 0^3 = 0 u(1) = 1^3 = 1 na integral original:
13 integral0^1 e^-u , du
Precisamos mudar os limites de integração de para :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral 13 [ -e^-u ]0^1 = 13 ( -e^-1 + e^0 ) . A antiderivada de 13 (1 - e^-1) é , então:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a .

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