Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Então, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com cálculo de limites que envolve integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites que resultam em forma indeterminada e aplicar regras como a de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, observamos o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
se aproxima de 1. Quando
,
, então a integral
tende a 0. Simultaneamente,
também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, que nos permite usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que, se
ou
, então
, desde que os limites existam.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Primeiro, identificamos
e
. Precisamos calcular as derivadas de
e
.
Passo 5
Para derivar
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
A derivada de
em relação a
é simplesmente 1.
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Passo 8
Agora, substituímos
por 1 na expressão resultante:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as derivadas das seguintes funções:
Considere a função
. Encontre os valores de
que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo
.
Calcule as seguintes integrais: