Calcule os seguintes limites: lim x 1 integral1^x^2 sen(pi t)x-1 d t

Passo 1

Então, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites que envolve integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites que resultam em forma indeterminada e aplicar regras como a de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento das funções no numerador e no denominador quando se aproxima de 1. Quando , , então a integral tende a 0. Simultaneamente, também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , que nos permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se ou , então , desde que os limites existam.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Primeiro, identificamos e . Precisamos calcular as derivadas de e .

Passo 5

Para derivar , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .

Passo 6

A derivada de em relação a é simplesmente 1.

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
limx 1 integral1^x^2 sin(pi t) , dtx - 1 = limx 1 sin(pi x^2) cdot 2x1

Passo 8

Agora, substituímos sin(pi (1)^2) cdot 2(1) = sin(pi) cdot 2 = 0 cdot 2 = 0 por 1 na expressão resultante:

Resposta

O limite é igual a .

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