Considere a função
. Encontre os valores de
que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
. O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de
que satisfazem o Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Esse teorema é super útil para entender o comportamento das funções e envolve um pouco de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função
atende às condições necessárias para aplicar o Teorema do Valor Médio. O teorema exige que a função seja contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
.
Passo 3
Nossa função
é um polinômio. Sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo lugar, então elas cumprem as condições do teorema no intervalo
.
Passo 4
Agora, segundo o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número
em
tal que:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
E
. Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
De acordo com o teorema, precisamos que:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem o Teorema do Valor Médio no intervalo
são
e
.
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