Considere a função g(x) = x^3 + 1, -1 <= x <= 1. Encontre os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de que satisfazem o Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Esse teorema é super útil para entender o comportamento das funções e envolve um pouco de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função atende às condições necessárias para aplicar o Teorema do Valor Médio. O teorema exige que a função seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto .

Passo 3

Nossa função é um polinômio. Sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo lugar, então elas cumprem as condições do teorema no intervalo .

Passo 4

Agora, segundo o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número em tal que:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos calcular :
E . Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada de :
De acordo com o teorema, precisamos que:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que satisfazem o Teorema do Valor Médio no intervalo são e .

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