Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano
e pelo cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas polares. A gente tem o plano xy e o cone dado pela equação
. Vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e montar uma integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do cone em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares,
. Então, a equação do cone fica:
Isso significa que o cone desce desde
até o plano xy, onde
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a região de integração. O sólido está entre o plano
e o cone
. Para que
seja positivo, temos:
Então,
varia de 0 até 3, e o ângulo
completa uma volta completa, ou seja, de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é
, e a altura do sólido é dada por
. Assim, a integral para o volume fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral de dentro primeiro, que é em relação a
:
Calculando nos limites:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.