2,0 Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y e pelo cone z = 3 - raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido usando coordenadas polares. A gente tem o plano xy e o cone dado pela equação . Vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e montar uma integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cone em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, . Então, a equação do cone fica:
Isso significa que o cone desce desde até o plano xy, onde .

Passo 3

Agora, precisamos identificar a região de integração. O sólido está entre o plano e o cone . Para que seja positivo, temos:
Então, varia de 0 até 3, e o ângulo completa uma volta completa, ou seja, de a .

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é , e a altura do sólido é dada por . Assim, a integral para o volume fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral de dentro primeiro, que é em relação a :
Calculando nos limites:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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