Resolva as integrais abaixo.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que resolver a integral
. Essa questão cai no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
. Podemos reescrever isso como
para facilitar a substituição. A ideia aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo
, que vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada.
Passo 3
Fazendo a substituição
, precisamos também calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Para simplificar, assumimos que
é positivo no intervalo considerado.
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
Portanto, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
:
Além disso, usamos a identidade
. Sabendo que
, temos:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Eshocc a região limitada pelas curvas
c
a sua área.