Resolva as integrais abaixo.
(f) integral raiz2-4 x^2 d x.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que resolver a integral . Essa questão cai no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é . Podemos reescrever isso como para facilitar a substituição. A ideia aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo , que vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Fazendo a substituição dx = costhetaraiz2 , dtheta , precisamos também calcular integral raiz2 - 4x^2 , dx = integral raiz2 - 4(sinthetaraiz2)^2 cdot costhetaraiz2 , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
2 - 4(sinthetaraiz2)^2 = 2 - 4 cdot sin^2theta2 = 2 - 2sin^2theta = 2(1 - sin^2theta) = 2cos^2theta
Então, a integral fica:
integral raiz2cos^2theta cdot costhetaraiz2 , dtheta = integral raiz2|costheta| cdot costhetaraiz2 , dtheta = integral cos^2theta , dtheta
Para simplificar, assumimos que é positivo no intervalo considerado.

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 . Sabemos que:
integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12integral 1 , dtheta + 12integral cos(2theta) , dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C
Portanto, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sintheta = raiz2x Rightarrow theta = arcsin(raiz2x) . Lembrando que sin(2theta) = 2raiz2x cdot raiz1 - 2x^2 , podemos expressar em termos de :
Além disso, usamos a identidade . Sabendo que , temos:

Resposta

A integral 12arcsin(raiz2x) + raiz2x raiz1 - 2x^22 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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