Resolva as integrais abaixo.
(f) .

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que resolver a integral . Essa questão cai no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é . Podemos reescrever isso como para facilitar a substituição. A ideia aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo , que vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Fazendo a substituição , precisamos também calcular . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Para simplificar, assumimos que é positivo no intervalo considerado.

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Sabemos que:
Portanto, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos expressar em termos de :
Além disso, usamos a identidade . Sabendo que , temos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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