Calcule as seguintes integrais: integral1^2[ln (t) i+t e^2 t j+t^2 e^t k] d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve cálculo vetorial! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes diferentes, cada uma com funções específicas de . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de integral ln(t) , dt = t ln(t) - t + C , que é . Para integrar , usamos a função primitiva conhecida:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites de 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de u = t Rightarrow du = dt , que é dv = e^2t dt Rightarrow v = 12 e^2t . Para integrar isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
integral t e^2t dt = t cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t dt = t e^2t2 - e^2t4 + C
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente na direção de u = t^2 Rightarrow du = 2t dt , que é dv = e^t dt Rightarrow v = e^t . Aqui também usamos a integração por partes, talvez duas vezes. Deixa eu fazer isso rapidamente:
Primeira vez:
integral t^2 e^t dt = t^2 e^t - integral 2t e^t dt
u = 2t Rightarrow du = 2 dt
dv = e^t dt Rightarrow v = e^t
Agora, a segunda integral integral 2t e^t dt = 2t e^t - 2 e^t + C :
Segunda vez:
integral t^2 e^t dt = t^2 e^t - (2t e^t - 2 e^t) + C = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

Combinando tudo, a integral vetorial fica:
integral1^2 [ln(t) i + t e^2t j + t^2 e^t k] dt = [2 ln(2) - 1] i + ( 2 e^42 - e^44 - (1 e^22 - e^24) ) j + ( [2^2 e^2 - 2 cdot 2 e^2 + 2 e^2] - [1^2 e^1 - 2 cdot 1 e^1 + 2 e^1] ) k
Simplificando cada componente:
= (2 ln(2) - 1) i + (4 e^42 - e^44 - 2 e^22 + e^24) j + (4 e^2 - 4 e^2 + 2 e^2 - e + 2 e - 2 e) k
= (2 ln(2) - 1) i + (2 e^4 - e^44 - e^2 + e^24) j + (2 e^2 - e) k
E essa é a expressão final da integral vetorial!

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