Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve cálculo vetorial! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes diferentes, cada uma com funções específicas de
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de
, que é
. Para integrar
, usamos a função primitiva conhecida:
Aqui,
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites de 1 e 2.
Passo 3
Agora, vamos para a componente na direção de
, que é
. Para integrar isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 4
Por último, vamos integrar a componente na direção de
, que é
. Aqui também usamos a integração por partes, talvez duas vezes. Deixa eu fazer isso rapidamente:
Primeira vez:
Agora, a segunda integral
:
Segunda vez:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Combinando tudo, a integral vetorial fica:
Simplificando cada componente:
E essa é a expressão final da integral vetorial!
Exercícios relacionados
Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Forneça exemplos de curvas
e
que possuam a mesma imagem mas que tenham comprimentos diferentes. Justifique sua resposta.