Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve cálculo vetorial! O enunciado pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes diferentes, cada uma com funções específicas de . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de , que é . Para integrar , usamos a função primitiva conhecida:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites de 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de , que é . Para integrar isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente na direção de , que é . Aqui também usamos a integração por partes, talvez duas vezes. Deixa eu fazer isso rapidamente:
Primeira vez:
Agora, a segunda integral :
Segunda vez:
Então, substituindo de volta:

Resposta

Combinando tudo, a integral vetorial fica:
Simplificando cada componente:
E essa é a expressão final da integral vetorial!

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Para cada um dos itens abaixo, calcule .
Para cada um dos itens abaixo, calcule .
Forneça exemplos de curvas e que possuam a mesma imagem mas que tenham comprimentos diferentes. Justifique sua resposta.