Emi cada caso, dada f(x, y), encontre: f_x(x, y) & Fy(x, y) : f(x, y) = (2*x + y)^5 * (x + 2*y)^7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a (ou seja, ) e em relação a (ou seja, ). Isso entra no campo de cálculo, especificamente em derivadas parciais, e vamos usar a regra do produto para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que é . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é o produto de duas partes: e . A gente vai usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que é . Novamente, usamos a regra do produto, mas agora tratando como constante.

Passo 7

Derivando cada parte:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 8

Aplicando a regra do produto:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Fatorando :
Calculando dentro dos colchetes:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são dadas por:

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Calcule as seguintes integrais: (1,0) integral1^2 integral0^ln (x) 12-e^y d y d x
Emi cada caso, dada f(x, y), encontre: f_x(x, y) & Fy(x, y) : f(x, y) = raiz(x^2 + y^2);
Verifique se mu(x, y) = ln(x^2 + y^2) + 2 arctg(y/x) satisfaz a equaçáo de Laplace(1749-1827): mu_xx + mu_yy = 0;
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y e pelo cone z = 9 - raiz(x^2 + y^2).