Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
(ou seja,
) e em relação a
(ou seja,
). Isso entra no campo de cálculo, especificamente em derivadas parciais, e vamos usar a regra do produto para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função
é o produto de duas partes:
e
. A gente vai usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
para simplificar ainda mais:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é
. Novamente, usamos a regra do produto, mas agora tratando
como constante.
Passo 7
Derivando cada parte:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Calculando dentro dos colchetes:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são dadas por:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Verifique se
satisfaz a equaçáo de Laplace(1749-1827):
;
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano
e pelo cone
.