Verifique se mu(x, y) = ln(x^2 + y^2) + 2 arctg(y/x) satisfaz a equaçáo de Laplace(1749-1827): mu_xx + mu_yy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é . A equação de Laplace é usada em várias áreas, como física e engenharia, para descrever situações de equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a mu e x, e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de mu em relação a x e y.
  1. Derivada em relação a x ( ):
    • Para o termo , usamos a regra da cadeia:
    • Para o termo , também usamos a regra da cadeia:
    • Então, a derivada total em relação a é:
  2. Derivada em relação a x ( ):
    • Para o termo y:
    • Para o termo :
    • Então, a derivada total em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais e .
  1. Segunda derivada em relação a x ( ):
    Partindo de , aplicamos a regra do quociente:
    Simplificando:
  2. Segunda derivada em relação a y ( ):
    Partindo de , também aplicamos a regra do quociente:
    Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos somar as segundas derivadas e :

Resposta

Sim, a função mu(x, y) satisfaz a equação de Laplace, pois .

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