Verifique se
satisfaz a equaçáo de Laplace(1749-1827):
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é
. A equação de Laplace é usada em várias áreas, como física e engenharia, para descrever situações de equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
.
-
Derivada em relação a
( ): -
Para o termo
, usamos a regra da cadeia: -
Para o termo , também usamos a regra da cadeia:
-
Então, a derivada total em relação a
é:
-
-
Derivada em relação a
( ): -
Para o termo
: -
Para o termo :
-
Então, a derivada total em relação a
é:
-
Passo 3
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais
e
.
-
Segunda derivada em relação a
( ): Partindo de, aplicamos a regra do quociente: Simplificando: -
Segunda derivada em relação a
( ): Partindo de, também aplicamos a regra do quociente: Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos somar as segundas derivadas
e
:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.
Exercícios relacionados
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
Calcule as seguintes integrais:
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano
e pelo cone
.
Dada
, use a definican para calcular
;