Calcule as seguintes integrais: .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: . O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrais iteradas onde vamos integrar uma função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar em relação a , podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar . Assim, a diferencial , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Voltando à variável original , fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral . Sabemos que , então aplicando a regra de potência:

Passo 8

Aplicando os limites de a :

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral.
e
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Calcule as seguintes integrais: