Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrais iteradas onde vamos integrar uma função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para integrar
em relação a
, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar
. Assim, a diferencial
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Voltando à variável original
, fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Sabemos que
, então aplicando a regra de potência:
Passo 8
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo fator
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule a integral.
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Calcule as seguintes integrais: