e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região que vai de até e de até . Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver integrais duplas, especialmente quando a função é uma fração envolvendo as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla com os limites dados. A integral dupla de sobre a região é representada assim:
Aqui, representa um elemento de área, que no caso de integrais duplas retangulares, é simplesmente .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Mantenha constante enquanto integra:
Podemos fatorar já que é constante em relação a :
A integral de em relação a é o logaritmo natural:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
A integral de em relação a também é o logaritmo natural:
Novamente, :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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e
Calcule a integral.
Calcule as seguintes integrais: .