e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
que vai de
até
e de
até
. Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver integrais duplas, especialmente quando a função é uma fração envolvendo as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a integral dupla com os limites dados. A integral dupla de
sobre a região
é representada assim:
Aqui,
representa um elemento de área, que no caso de integrais duplas retangulares, é simplesmente
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Mantenha
constante enquanto integra:
Podemos fatorar
já que é constante em relação a
:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como
é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
A integral de
em relação a
também é o logaritmo natural:
Novamente,
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Calcule as seguintes integrais:
.