integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=1x y e R:[1,3] times[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região que vai de até e de até . Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver integrais duplas, especialmente quando a função é uma fração envolvendo as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla com os limites dados. A integral dupla de integral duplaR 1x y , dA = integral1^3 integral1^3 1x y , dy , dx sobre a região é representada assim:
Aqui, representa um elemento de área, que no caso de integrais duplas retangulares, é simplesmente .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^3 1x y , dy . Mantenha 1x integral1^3 1y , dy constante enquanto integra:
1x [ ln|y| ]1^3 = 1x ( ln 3 - ln 1 )
Podemos fatorar 1x ln 3 já que é constante em relação a :
A integral de em relação a é o logaritmo natural:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 ln 3x , dx
Como ln 3 integral1^3 1x , dx é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
ln 3 [ ln|x| ]1^3 = ln 3 ( ln 3 - ln 1 )
A integral de ln 3 cdot ln 3 = (ln 3)^2 em relação a também é o logaritmo natural:
Novamente, :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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