Calcule as seguintes integrais utilizando o método da substituição: integral(x^3-2)^4 3 x^2 d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral(x^3-2)^4 cdot 3 x^2 , dx usando o método da substituição. Isso significa que vamos simplificar a integral trocando parte dela por uma nova variável, o que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da expressão que podemos substituir. Olhando para a integral, vemos que a expressão dentro do parênteses, x^3 - 2, está elevada à quarta potência. Vamos chamar essa expressão de u.

Passo 3

Definimos a substituição:
u = x^3 - 2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx na integral.

Passo 4

Calculamos a derivada de u:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx
Perceba que 3x^2 , dx está exatamente presente na nossa integral original.

Passo 5

Agora, substituímos u e du na integral:
integral(x^3-2)^4 cdot 3 x^2 , dx = integral u^4 , du
Isso simplificou bastante a integral!

Passo 6

Vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u por x^3 - 2:
u^55 + C = (x^3-2)^55 + C

Resposta

A integral é (x^3-2)^55 + C.

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