Se
é a região interior à elipse
e exterior à circunferência
, calcule a integral de linha
, onde
está orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região
que está dentro da elipse
e fora da circunferência
. Precisamos calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira positiva de
. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar nossa vida!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Com isso, a integral de linha transforma-se em:
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é a área da elipse menos a área da circunferência.
A área da elipse
é:
A área da circunferência
(raio 2) é:
Portanto, a área de
é:
Passo 5
Finalmente, substituindo na expressão da integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Um campo de forças bidimensional
define-se por
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de
e
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva
O campo de forças
atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por
.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a fronteira da região limitada por
e
, com
.
©
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde
é formada por
e
, que vai do ponto
ao ponto
.
(a)