Se é a região interior à elipse e exterior à circunferência , calcule a integral de linha , onde está orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região que está dentro da elipse e fora da circunferência . Precisamos calcular a integral de linha , onde é a fronteira positiva de . Vamos usar o Teorema de Green para facilitar nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Com isso, a integral de linha transforma-se em:
Á
Agora, precisamos calcular a área da região , que é a área da elipse menos a área da circunferência.
A área da elipse é:
A área da circunferência (raio 2) é:
ê
Portanto, a área de é:
ê

Passo 5

Finalmente, substituindo na expressão da integral:

Resposta

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Um campo de forças bidimensional define-se por .
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de e .
O campo de forças atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por .
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a fronteira da região limitada por e , com .
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é formada por e , que vai do ponto ao ponto .