Se D é a região interior à elipse x^225+y^29=1 e exterior à circunferência x^2+y^2=4, calcule a integral de linha I=integralC(2 x y+e^x^2) d x+(x^2+2 x+cos (y^2)) d y, onde C=partial D está orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região que está dentro da elipse e fora da circunferência . Precisamos calcular a integral de linha , onde é a fronteira positiva de . Vamos usar o Teorema de Green para facilitar nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 + 2x + cos(y^2) ) = 2x + 2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 2xy + e^x^2 ) = 2x
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x + 2) - (2x) = 2

Passo 4

Com isso, a integral de linha transforma-se em:
I = integral duplaD 2 , dA = 2 times Área de D Á
Agora, precisamos calcular a área da região Aelipse = pi times a times b = pi times 5 times 3 = 15pi , que é a área da elipse menos a área da circunferência.
A área da elipse Acircunferência = pi times r^2 = pi times 2^2 = 4pi é:
AD = Aelipse - Acircunferência = 15pi - 4pi = 11pi
A área da circunferência (raio 2) é:
ê
Portanto, a área de é:
ê

Passo 5

Finalmente, substituindo na expressão da integral:
I = 2 times 11pi = 22pi

Resposta

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