Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve funções trigonométricas e integração. Para resolvê-lo, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, realizar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que a função pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:

Passo 3

Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar essa expressão para facilitar a divisão.

Passo 5

Fatorando :
Vamos fatorar o polinômio . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Assim:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na fração original:
Aqui, , o que cancela o denominador.

Passo 7

Agora, a integral simplifica para:
Essa expressão é mais fácil de integrar.

Passo 8

Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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