Calcule as seguintes integrais: integral[cos (x)-cos (2 x)1-cos (x)] d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve funções trigonométricas e integração. Para resolvê-lo, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, realizar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que a função cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:

Passo 3

Substituindo cos(x) - cos(2x)1 - cos(x) = cos(x) - (2cos^2(x) - 1)1 - cos(x) = cos(x) - 2cos^2(x) + 11 - cos(x) na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = -2cos^2(x) + cos(x) + 1
Podemos fatorar essa expressão para facilitar a divisão.

Passo 5

Fatorando -2cos^2(x) + cos(x) + 1 = - (2cos^2(x) - cos(x) - 1) :
2cos^2(x) - 2cos(x) + cos(x) - 1 = (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1)
Vamos fatorar o polinômio -2cos^2(x) + cos(x) + 1 = - (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Assim:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na fração original:
- (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1)1 - cos(x) = - (2cos(x) + 1)(-1)(1 - cos(x))1 - cos(x) = 2cos(x) + 1
Aqui, , o que cancela o denominador.

Passo 7

Agora, a integral simplifica para:
integral (2cos(x) + 1) dx
Essa expressão é mais fácil de integrar.

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral 2cos(x) dx + integral 1 dx = 2sin(x) + x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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