Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve funções trigonométricas e integração. Para resolvê-lo, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, realizar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que a função
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar essa expressão para facilitar a divisão.
Passo 5
Fatorando
:
Vamos fatorar o polinômio
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Assim:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na fração original:
Aqui,
, o que cancela o denominador.
Passo 7
Agora, a integral simplifica para:
Essa expressão é mais fácil de integrar.
Passo 8
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a
.
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