Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. O que a gente precisa fazer é calcular a integral da função em relação a . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a função seno e a função , que é o cosecante ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Integrando :
A integral da função seno é uma das integrais básicas que a gente aprende logo no começo. A fórmula é:
Aqui, é a constante de integração.
Integrando :
A função é o cosecante, que é igual a . A integral de também é uma integral padrão:
Novamente, é a constante de integração.

Passo 4

Vamos juntar tudo agora, lembrando de multiplicar o 10 que estava na frente da segunda integral:
Simplificando:

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico e determine o ponto de mínimo ou máximo de cada função.
A função tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas desse ponto, ou seja, determinar .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Calcule as seguintes integrais: