Calcule as seguintes integrais: integral[sen(x)+10 csc ^2(x)] d x

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. O que a gente precisa fazer é calcular a integral da função sen(x) + 10 csc^2(x) em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a função seno e a função csc^2(x), que é o cosecante ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral [ sen(x) + 10 csc^2(x) ] dx = integral sen(x) , dx + 10 integral csc^2(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Integrando sen(x):
A integral da função seno é uma das integrais básicas que a gente aprende logo no começo. A fórmula é:
integral sen(x) , dx = -cos(x) + C
Aqui, C é a constante de integração.
Integrando csc^2(x):
A função csc(x) é o cosecante, que é igual a 1/sin(x). A integral de csc^2(x) também é uma integral padrão:
integral csc^2(x) , dx = -cot(x) + C
Novamente, C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos juntar tudo agora, lembrando de multiplicar o 10 que estava na frente da segunda integral:
integral [ sen(x) + 10 csc^2(x) ] dx = -cos(x) + 10 times (-cot(x)) + C
Simplificando:
-cos(x) - 10 cot(x) + C

Resposta

A integral de sen(x) + 10 csc^2(x) em relação a x é:
-cos(x) - 10 cot(x) + C

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