Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre séries infinitas e precisamos decidir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando-as com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Aqui, cada termo da série é
, onde
é o logaritmo natural de
. Nosso objetivo é ver se somando esses termos até o infinito dá um número finito (converge) ou infinito (diverge).
Passo 3
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos verificar se a função
é positiva, contínua e decrescente para
. Claramente,
é positiva porque
é positiva para
e
também é positivo. A continuidade e a monotonicidade (ser decrescente) da função também são válidas para
.
Passo 4
Segundo o Teste da Integral, se a integral de
de 1 até o infinito é convergente, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então, vamos calcular a integral
.
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a substituição
. Assim,
. A integral se transforma em
.
Passo 6
Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral
diverge, pois tende ao infinito.
Resposta
Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, concluímos que a série
também diverge.
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