Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível: sumn=1^infty ln (n)n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre séries infinitas e precisamos decidir se a série sumn=1^infty ln(n)n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando-as com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumn=1^infty ln(n)n. Aqui, cada termo da série é ln(n)n, onde ln(n) é o logaritmo natural de n. Nosso objetivo é ver se somando esses termos até o infinito dá um número finito (converge) ou infinito (diverge).

Passo 3

Para aplicar o Teste da Integral, precisamos verificar se a função f(x) = ln(x)x é positiva, contínua e decrescente para x >= 1. Claramente, f(x) é positiva porque ln(x) é positiva para x > 1 e x também é positivo. A continuidade e a monotonicidade (ser decrescente) da função também são válidas para x >= 1.

Passo 4

Segundo o Teste da Integral, se a integral de f(x) de 1 até o infinito é convergente, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então, vamos calcular a integral integral1^infty ln(x)x dx.

Passo 5

Para resolver a integral integral ln(x)x dx, usamos a substituição u = ln(x). Assim, du = 1x dx. A integral se transforma em integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C.

Passo 6

Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada quando x tende ao infinito:
limx to infty (ln(x))^22 = infty
Isso significa que a integral integral1^infty ln(x)x dx diverge, pois tende ao infinito.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, concluímos que a série sumn=1^infty ln(n)n também diverge.

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