Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre séries infinitas e precisamos decidir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando-as com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: . Aqui, cada termo da série é , onde é o logaritmo natural de . Nosso objetivo é ver se somando esses termos até o infinito dá um número finito (converge) ou infinito (diverge).

Passo 3

Para aplicar o Teste da Integral, precisamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para . Claramente, é positiva porque é positiva para e também é positivo. A continuidade e a monotonicidade (ser decrescente) da função também são válidas para .

Passo 4

Segundo o Teste da Integral, se a integral de de 1 até o infinito é convergente, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então, vamos calcular a integral .

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a substituição . Assim, . A integral se transforma em .

Passo 6

Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, pois tende ao infinito.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, concluímos que a série também diverge.

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