Calcule as seguintes integrais: integral[sen^4(x)+cos ^4(x)sen^2(x) cos ^2(x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. O exercício é calcular:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Sabemos que:
Podemos usar a identidade para reescrever isso.

Passo 3

Vamos reescrever usando a identidade de potência:
Então, a expressão da integral fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que:
Portanto:
Mas isso pode complicar, então uma alternativa melhor é usar a identidade . Portanto:

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral [4 cot^2(2x) - 2] dx
Vamos separar em duas integrais:
4 integral cot^2(2x) dx - 2 integral dx

Passo 7

Lembrando que 4 integral (csc^2(2x) - 1) dx - 2 integral dx = 4 integral csc^2(2x) dx - 4 integral dx - 2 integral dx , temos:

Passo 8

Integrando cada parte:
4 (-12 cot(2x)) - 4x - 2x + C = -2 cot(2x) - 6x + C

Resposta

A integral resulta em:
-2 cot(2x) - 6x + C

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