Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 22. Consider the initial value problem
c. Find the range of initial values for which the solution lies in the interval by the time .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial:
Nosso objetivo é descobrir quais valores iniciais fazem com que a solução esteja no intervalo quando . Para isso, precisamos resolver a equação diferencial e depois determinar o intervalo de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial. Observamos que ela é separável, o que significa que podemos separar e em lados opostos da equação. Reescrevemos a equação como:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Resolvendo, encontramos e . Assim, a integral fica:

Passo 4

Integrando o lado direito, temos:

Passo 5

Igualando as integrais e rearranjando, obtemos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 6

Usando a condição inicial :
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, queremos que esteja entre 3.99 e 4.01. Substituindo na solução:
Queremos:

Passo 9

Vamos resolver as inequações para :
  1. Para :
  1. Para :
Essas equações são complexas para resolver analiticamente, então utilizamos métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de que satisfazem ambas as condições.

Resposta

Após resolver numericamente as inequações, encontramos que os valores iniciais devem estar em um intervalo próximo de 4 para que, quando , a solução esteja entre 3.99 e 4.01. Especificamente, deve estar aproximadamente entre 3.99 e 4.01.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 21. Consider the initial value problem
a. Determine how the behavior of the solution as increases depends on the initial value .
Calcule as seguintes integrais:
In each of Problems 1 through 8, solve the given differential equation.